Matemática aplicada a la Informática

Buenos días de nuevo al blog, quería hablaros de la importancia de la asignatura de álgebra lineal en la informática. En la actualidad, guardamos mucha información en nuestros dispositivos referente a todas las actividades que realizamos en nuestra vida cotidiana.Almacenamos  dichos datos   en cada una de la direcciones de memoria de la pila o de la Free Store de nuestros dispositivos pero por ejemplo las grandes empresas utilizan grandes bases de datos para realizar dicho proceso de almacenamiento. Es por ello, que para acceder a los mismos es necesario además del uso de punteros y referencias a, unos determinados cálculos que realizan los microprocesadores basados en su mayoría en matrices.Según lo que dijo nuestro docente es que para acceder a un determinado objeto creado en dicha base, el microprocesador tiene que realizar una serie de operaciones matriciales. Siempre será conveniente, transformar una matriz simétrica elevada a un exponente elevado en una matriz diagonalizable y elevar al mismo exponente la matriz diagonal y, digo esto, porque si un microprocesador tiene que realizar tantas operaciones puede llegar a colapsarse la entrada y salida de datos dando lugar a un retardo a la hora de acceder al dato en sí y/o emplear mucha energía. Entonces cuando queramos hablar de eficiencia energética y rapidez a la hora de acceder a determinados datos en una base de datos tenemos que hacer referencia a las matrices diagonalizables.
De forma didáctica explicaré como calcular una matriz diagonalizable aunque tenéis en youtube numerosos videos relacionados con este apartado, siendo mi favorito el de Juan Medina.
1)Paso:
Calculamos el determinante de la matriz simétrica para verificar que no existen ningún tipo de combinación lineal entre vectores. Si existiese alguna combinación lineal entre vectores no estaríamos ante una matriz diagonalizable; tendríamos dos vectores con un número de elementos n>=3 y no se cumpliría la condición de la simetría en la matriz.

2)Paso:
Cuando ya sabemos que la matriz cumple que sus vectores son linealmente independientes y que la matriz es simétrica, es decir, tiene el mismo número de filas que de columnas, procedemos a calcular el polinomio característico P(alpha), que será igual al calculo del determinante de la misma asignándole a cada uno de los elementos de la diagonal un símbolo conocido como alpha que representa el autovalor que hace cero al mismo elemento.Por ejemplo si en la diagonal de la matriz tengo los siguientes elementos (1,4,3)en una matriz de tamaño 3x3, lo que hacemos es lo siguiente:
(1-alpha),(4-alpha),(3-alpha) e insertamos dichos elementos en las posiciones que ocupaban en la diagonal de la matriz para posteriormente calcular el determinante de la matriz en tal estado.

3)Cuando obtenemos el resultado del polinomio característico que posee una sintaxis similar a la siguiente: P(alpha)=(3-aplha)^2+(-4-alpha) lo que debemos de hacer es emplear el siguiente análisis:
en una matriz 3x3 voy a obtener 3 autovalores, posiblemente alguno de ellos posea una multiplicidad no superior a 3 y no inferior a 1(* la multiplicidad del autovalor la comprobamos observando el exponente). Para un autovalor con multiplicidad 2 debemos de encontrar un subespacio vectorial que tenga la misma dimensión que su multiplicidad, en este caso es 2, es decir, dos vectores que cumplan con la restricción obtenida en el subespacio formarán los dos primeros vectores de la matriz de paso y así sucesivamente con el resto de autovalores.

4)La matriz diagonal estará formada por los autovalores en la diagonal y el resto de elementos será 0. Y como la explicamos, la matriz de paso está compuesta por los autovectores  colocados en el mismo orden que los autovalores a los cuales corresponden.

5)La matriz es diagonalizables si es simétrica y si la multiplicidad de los autovalores definidos en el polinomio característico tienen el mismo valor que la dimensión de los subespacios vectoriales formados por ellos.
La fómula es la siguiente: Matriz(objeto de estudio)=Matriz de Paso*Matriz Diagonal*Matriz de Paso Inversa.